Запоминаем и применяем свойства трапеции. Прямоугольная трапеция: все формулы и примеры задач Найти углы трапеции по сторонам
Трапеция — это четырехугольник, имеющий две параллельные стороны, являющиеся основаниями и две не параллельные стороны, являющиеся боковыми сторонами.
Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная .
— это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.
Элементы трапеции
a, b — основания трапеции (a параллельно b ),
m, n — боковые стороны трапеции,
d 1 , d 2 — диагонали трапеции,
h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),
MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).
Площадь трапеции
- Через полусумму оснований a, b и высоту h : S = \frac{a + b}{2}\cdot h
- Через среднюю линию MN и высоту h : S = MN\cdot h
- Через диагонали d 1 , d 2 и угол (\sin \varphi ) между ними: S = \frac{d_{1} d_{2} \sin \varphi}{2}
Свойства трапеции
Средняя линия трапеции
Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и разделяет каждый отрезок с концами, находящимися на прямых, которые содержат основания, (к примеру, высоту фигуры) пополам:
MN || a, MN || b, MN = \frac{a + b}{2}
Сумма углов трапеции
Сумма углов трапеции , прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180^{\circ} :
\alpha + \beta = 180^{\circ}
\gamma + \delta =180^{\circ}
Равновеликие треугольники трапеции
Равновеликими , то есть имеющими равные площади, являются отрезки диагоналей и треугольники AOB и DOC , образованные боковыми сторонами.
Подобие образованных треугольников трапеции
Подобными треугольниками являются AOD и COB , которые образованы своими основаниями и отрезками диагоналей.
\triangle AOD \sim \triangle COB
Коэффициент подобия k находится по формуле:
k = \frac{AD}{BC}
Причем отношение площадей этих треугольников равно k^{2} .
Отношение длин отрезков и оснований
Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:
\frac{OX}{OY} = \frac{BC}{AD}
Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.
Трапеция - это плоский четырехугольник , у которого две противолежащие стороны параллельны. Они называются основаниями трапеции , а две другие стороны - боковыми сторонами трапеции .
Инструкция
Задача нахождения произвольного угла в трапеции требует достаточного количества дополнительных данных. Рассмотрим пример, в котором известны два угла при основании трапеции . Пусть известны углы &ang-BAD и &ang-CDA, найдем углы &ang-ABC и &ang-BCD. Трапеция обладает таким свойством, что сумма углов при каждой боковой стороне равна 180°-. Тогда &ang-ABC = 180°--&ang-BAD, а &ang-BCD = 180°--&ang-CDA.
трапеции" class="lightbx" data-lightbox="article-image">
В другой задаче может быть указано равенство сторон трапеции и какие-нибудь дополнительные углы. Например, как на рисунке, может быть известно, что стороны AB, BC и CD равны, а диагональ составляет с нижним основанием угол &ang-CAD = α-.Рассмотрим треугольник ABC, он равнобедренный, так как AB = BC. Тогда &ang-BAC = &ang-BCA. Обозначим его x для краткости, а &ang-ABC - y. Сумма углов любого треугольник а равна 180°-, из этого следует, что 2x + y = 180°-, тогда y = 180°- - 2x. В то же время из свойств трапеции : y + x + α- = 180°- и следовательно 180°- - 2x + x + α- = 180°-. Таким образом, x = α-. Мы нашли два угла трапеции : &ang-BAC = 2x = 2α- и &ang-ABC = y = 180°- - 2α-.Так как AB = CD по условию, то трапеция равнобокая или равнобедренная. Значит,
Трапеция – это плоский четырехугольник , у которого две противолежащие стороны параллельны. Они именуются основаниями трапеции , а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции .
Инструкция
1. Задача нахождения произвольного угла в трапеции требует довольного числа дополнительных данных. Разглядим пример, в котором знамениты два угла при основании трапеции . Пускай вестимы углы ∠BAD и ∠CDA, обнаружим углы ∠ABC и ∠BCD. Трапеция владеет таким свойством, что сумма углов при всякой боковой стороне равна 180°. Тогда ∠ABC = 180°-∠BAD, а ∠BCD = 180°-∠CDA.
2. В иной задаче может быть указано равенство сторон трапеции и какие-либо добавочные углы. Скажем, как на рисунке, может быть вестимо, что стороны AB, BC и CD равны, а диагональ составляет с нижним основанием угол ∠CAD = α.Разглядим треугольник ABC, он равнобедренный, потому что AB = BC. Тогда ∠BAC = ∠BCA. Обозначим его x для краткости, а ∠ABC – y. Сумма углов всякого треугольник а равна 180°, из этого следует, что 2x + y = 180°, тогда y = 180° – 2x. В то же время из свойств трапеции : y + x + α = 180° и следственно 180° – 2x + x + α = 180°. Таким образом, x = α. Мы обнаружили два угла трапеции : ∠BAC = 2x = 2α и ∠ABC = y = 180° – 2α.Потому что AB = CD по условию, то трапеция равнобокая либо равнобедренная. Значит, диагонали равны и равны углы при основаниях. Таким образом, ∠CDA = 2α, а ∠BCD = 180° – 2α.
Диагональ многоугольника – отрезок, тот, что соединяет две не граничащие между собой вершины фигуры (т.е. несмежные вершины либо не принадлежащие одной стороне многоугольника ). В параллелограмме, зная длину диагоналей и длину сторон, дозволено рассчитать углы между диагоналями .
Инструкция
1. Для комфорта воспринятия информации начертите на листе бумаги произвольный параллелограмм АВСD (параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно равны и параллельны). Объедините противоположные вершины отрезками. Полученные АС и ВD – диагонали. Обозначьте точку пересечения диагоналей буквой О. Нужно обнаружить углы ВОС (АОD) и СOD (АОВ).
2. Параллелограмм владеет целым рядом математических свойств:- диагонали точкой пересечения делятся напополам; – диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника ;- сумма всех углов в параллелограмме равна 360 градусов;- сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180 градусам;- сумма квадратов диагоналей равна двойственный сумме квадратов его смежных сторон.
3. Дабы обнаружить углы между диагоналями , воспользуйтесь теоремой косинусов из теории элементарной геометрии (Евклидовой). Согласно теореме косинусов, квадрат стороны треугольника (A) дозволено получить, сложив квадраты 2-х его других сторон (B и C), и из полученной суммы вычесть двойное произведение этих сторон (B и C) на косинус угла между ними.
4. Применительно к треугольнику ВОС параллелограмма АВСD теорема косинусов будет выглядеть дальнейшим образом:Квадрат ВС = квадрат ВО + квадрат ОС – 2*ВО*ОС*cos угла ВOCОтсюда соs угла BOC = (квадрат ВС –квадрат ВО – квадрат ОС) / (2*ВО*ОС)
5. Обнаружив значение угла ВОС (АОD) легко вычислить значение иного угла, заключенного между диагоналями – СОD (АОВ). Для этого из 180 градусов вычтите значение угла ВОС (АОD) – т.к. сумма смежных углов равна 180 градусам, а углы ВОС и СОD и углы АОD и АОВ – смежные.
Видео по теме
Для решения этой задачи способами векторной алгебры, вам нужно знать следующие представления: геометрическая векторная сумма и скалярное произведение векторов, а также следует помнить качество суммы внутренних углов четырехугольника.
Вам понадобится
- – бумага;
- – ручка;
- – линейка.
Инструкция
1. Вектор – это направленный отрезок, то есть величина, считающаяся заданной всецело, если задана его длина и направление (угол) к заданной оси. Расположение вектора огромнее ничем не ограничено. Равными считаются два вектора, владеющие идентичными длинами и одним направлением. Следственно при применении координат векторы изображают радиус-векторами точек его конца (предисловие располагается в начале координат).
2. По определению: результирующим вектором геометрической суммы векторов именуется вектор, исходящий из начала первого и имеющего конец в конце второго, при условии, что конец первого, совмещен с началом второго. Это дозволено продолжать и дальше, строя цепочку подобно расположенных векторов. Изобразите данный четырехугольник ABCD векторами a, b, c и d в соответствии рис. 1. Видимо, что при таком расположении результирующий вектор d=a+ b+c.
3. Скалярное произведение в данном случае комфортнее каждого определить на основе векторов a и d. Скалярное произведение, обозначаемое (a, d)= |a||d|cosф1. Тут ф1 – угол между векторами a и d. Скалярное произведение векторов, заданных координатами, определяется следующими выражением: (a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, тогда cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).
4. Основные представления векторной алгебры в привязке к поставленной задаче, приводят к тому, что для однозначной постановки этой задачи довольно задание 3 векторов, расположенных, возможен, на AB, BC, и CD, то есть a, b, c. Дозволено финально сразу задать координаты точек A, B, C, D, но данный метод является избыточным (4 параметра взамен 3-х).
5. Пример. Четырехугольник ABCD задан векторами его сторон AB, BC, CD a(1,0), b(1,1), c(-1,2). Обнаружить углы между его сторонами. Решение. В связи с высказанным выше, 4-й вектор (для AD) d(dx,dy)=a+ b+c={ax+bx +cx, ay+by+cy}={1,3}. Следуя методике вычисления угла между векторами аcosф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2))=1/sqrt(10), ф1=arcos(1/sqrt(10)).-cosф2=(axbx+ayby)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(bx^2+ by^2))=1/sqrt2, ф2=arcos(-1/sqrt2), ф2=3п/4.-cosф3=(bxcx+bycy)/(sqrt(bx^2+ by^2)sqrt(cx^2+ cy^2))=1/(sqrt2sqrt5), ф3=arcos(-1/sqrt(10))=п-ф1. В соответствии с примечанием 2 – ф4=2п- ф1 – ф2- ф3=п/4.
Видео по теме
Обратите внимание!
Примечание 1. В определении скалярного произведения применяется угол между векторами. Тут, скажем, ф2 – это угол между АВ и ВС, а между a и b данный угол п-ф2. сos(п- ф2)=- сosф2. Подобно для ф3.Примечание 2. Знаменито, что сумма углов четырехугольника равна 2п. Следственно ф4=2п- ф1 – ф2- ф3.
Углы равнобедренной трапеции. Здравствуйте! В этой статье речь пойдёт о решении задач с трапецией. Данная группа заданий входит в состав экзамена, задачки простые. Будем вычислять углы трапеции, основания и высоты. Решение ряда задач сводится к решению , как говориться: куда мы без теоремы Пифагора, ?
Работать будем с равнобедренной трапецией. У неё равны боковые стороны и углы при основаниях. О трапеции есть статья на блоге, .
Отметим небольшой и важный нюанс, который в процессе решения самих заданий подробно расписывать не будем. Посмотрите, если у нас дано два основания, то большее основание высотами, опущенными к нему, разбивается на три отрезка – один равен меньшему основанию (это противолежащие стороны прямоугольника), два других равны друг другу (это катеты равных прямоугольных треугольников):
Простой пример: дано два основания равнобедренной трапеции 25 и 65. Большее основание разбивается на отрезки следующим образом:
*И ещё! В задачах не введены буквенные обозначения. Это сделано умышленно, чтобы не перегружать решение алгебраическими изысками. Согласен, что это математически неграмотно, но цель донести суть. А обозначения вершин и прочих элементов вы всегда можете сделать сами и записать математически корректное решение.
Рассмотрим задачи:
27439. Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.
Для того чтобы найти угол необходимо построить высоты. На эскизе обозначим данные в условии величины. Нижнее основание равно 65, высотами оно разбивается на отрезки 7, 51 и 7:
В прямоугольном треугольнике нам известна гипотенуза и катет, можем найти второй катет (высоту трапеции) и далее уже вычислить синус угла.
По теореме Пифагора указанный катет равен:
Таким образом:
Ответ: 0,96
27440. Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции равен 5/7. Найдите боковую сторону.
Построим высоты и отметим данные в условии величины, нижнее основание разбивается на отрезки 15, 43 и 15:
27441. Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен (2√10)/7. Найдите меньшее основание.
Построим высоты. Для того чтобы найти меньшее основание нам необходимо найти чему равен отрезок являющийся катетом в прямоугольном треугольнике (обозначен синим):
Можем вычислить высоту трапеции, а затем найти катет:
По теореме Пифагора вычисляем катет:
Таким образом, меньшее основание равно:
27442. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51. Тангенс острого угла равен 5/11. Найдите высоту трапеции.
Построим высоты и отметим данные в условии величины. Нижнее основание разбивается на отрезки:
Что делать? Выражаем тангенс известного нам угла при основании в прямоугольном треугольнике:
27443. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 23. Высота трапеции равна 39. Тангенс острого угла равен 13/8. Найдите большее основание.
Строим высоты и вычисляем чему равен катет:
Таким образом большее основание будет равно:
27444. Основания равнобедренной трапеции равны 17 и 87. Высота трапеции равна 14. Найдите тангенс острого угла.
Строим высоты и отмечаем известные величины на эскизе. Нижнее основание разбивается на отрезки 35, 17, 35:
По определению тангенса:
77152. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.
Построим эскиз, построим высоты и отметим известные величины, большее основание разбивается на отрезки 3, 6 и 3:
Выразим гипотенузу обозначенную как х через косинус:
Из основного тригонометрического тождества найдём cosα
Таким образом:
27818. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50 0 ? Ответ дайте в градусах.
Из курса геометрии нам известно, что если имеем две параллельные прямые и секущую, что сумма внутренних односторонних углов равна 180 0 . В нашем случае это
C условии сказано, что разность противолежащих углов равна 50 0 , то есть
В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.
Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.
Трапеция и все-все-все
Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.
Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.
В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.
Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.
Свойства диагоналей трапеции
Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.
- Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2 .
- Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 . - Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
- Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т. - Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ .
- А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b) .
Свойства средней линии трапеции
Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.
- Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2 .
- Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.
Свойство биссектрисы трапеции
Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.
Свойства углов трапеции
- Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
- Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2 .
- Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.
Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции
- В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
- Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
- Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
- Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
- Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
- Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2 .
- Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
- На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2 . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2 .
Свойства трапеции, вписанной в окружность
Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.
- Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
- Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
- Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
- Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ .
- Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
- Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ .
Свойства трапеции, описанной около окружности
Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.
- Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2 .
- У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ .
- Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
- Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab .
- И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.
Свойства прямоугольной трапеции
Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.
- У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
- Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
- Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.
Доказательства некоторых свойств трапеции
Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:
- Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).
Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.
АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.
Откуда АКМ = 180 0 - МЕТ = 180 0 - КАЕ = КМЕ.
Что и требовалось доказать.
Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной :
- Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).
∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.
МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.
У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.
Задача для повторения
Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.
Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.
Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).
Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.
Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .
Послесловие
Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.
Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.
Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.